题目内容

如图，P为60°的二面角α-l-β内一点，P到二面角两个面的距离分别为2、3，A、B是二面角的两个面内的动点，则△PAB周长的最小值为
 
．
考点：与二面角有关的立体几何综合题
专题：计算题,空间角
分析：作出P关于两个平面α，β对称点M、N，连接MN，线段MN与两个平面的交点坐标分别为C，D，连接MP，NP，由已知条件推导出△PAB周长L=PM+PN+MN=AM+MN+BN，当A与C重合，B与D重合时，由两点之间线段最短可以得出MN，即为△PAB周长的最小值．
解答： 解：如图，作出P关于两个平面α，β的对称点M、N，连接MN，
线段MN与两个平面的交点坐标分别为C，D，连接MP，NP，CP，DP，
则△PAB的周长L=PA+PB+AB=AM+AB+BN，当A与C重合，B与D重合时，
由两点之间线段最短可以得出MN即为△PAB周长的最小值，
根据题意可知：P到二面角两个面的距离分别为2、3，
∴MP=4，NP=6，
∵大小为60°的二面角α-l-β，
∴∠EOF=60°，
∴∠MPN=120°，
根据余弦定理有：
MN2=MP2+NP2-2MP•NP•cos∠MPN=42+62-2×4×6×（-
1
2
）=76，
∴MN=2
19
，
∴△PAB周长的最小值等于2
19
．
故答案为：2
19
．
点评：本题考查三角形周长的最小值的求法，注意运用对称的方法，同时考查二面角的定义和求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ADC=90°，且CD=2，AD=
2
，AB=PD=1，E在线段PC上移动，且
PE
=λ
PC
．
（1）当λ=
1
3
时，证明：直线PA∥平面EBD；
（2）是否存在λ，使面EBD与面PBC所成二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
若圆锥的轴截面是正三角形，则它的侧面积是底面积的（　　）
A、4倍
B、3倍
C、
2
倍
D、2倍
已知中心在原点的椭圆C的右焦点为（
3
，0），右顶点为（2，0），
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+
2
与椭圆C恒有两个不同的交点A和B，且
OA
•
OB
＞2（其中O为原点），求k的取值范围．
已知函数f（x）=2x2-2ax+b，当时x=-1时，f（x）取最小值-8，记集合A={x|f（x）＞0}，B={x||x-t|≤1}
（Ⅰ）当t=1时，求（∁RA）∪B；
（Ⅱ）设命题P：A∩B≠∅，若￢P为真命题，求实数t的取值范围．
在医学生物学试验中，经常以果绳作为试验对象，一个关有4只果绳的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有6只蝇子：4只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔，以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数．
（Ⅰ）写出ξ的分布列（要求写出计算过程）；
（Ⅱ）求数学期望Eξ；
（Ⅲ）求概率P（ξ＞Eξ）．
（理做）已知函数f（x）=
1
x-1
-lnx，函数y=f（|x|）的零点个数为n，则n=（　　）
A、2B、4C、6D、8
（1）设x，y∈R，向量
a
=（x，1），
b
=（1，y），
c
=（2，-4），且
a
⊥
c
，
b
∥
c
，求|
a
+
b
|和
a
+
b
与
c
的夹角；
（2）设0为△ABC的外心，已知AB=3，AC=4，非零实数x，y满足
AO
=x
AB
+y
AC
且x+2y=1，则cos∠BAC的值．
下列式子正确的是（　　）
A、
AB
-
AC
=
BC
B、
a
•（
b
•
c
）=（
a
•
b
）•
c
C、λ（μa）=（λμ）
a
D、
O
•
AB
=
O

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