Question

已知数列{a_n}中，a₁=t（t为非零常数），{a_n}的前n项和S_n满足S_n+1=3S_n．
（Ⅰ）当t=1时，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若对任意n∈N^*，都有λ＞

n(n+1)

an

，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：计算题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）方法一：先求{S_n}的通项，再求数列{a_n}的通项公式；方法二：由S_n+1=3S_n，再写一式，两式相减，可得{a_n}为第二项起的等比数列，公比为3，即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）分类讨论，确定数列的通项及单调性，求最值，根据λ＞

n(n+1)

an

，即可求实数λ的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）
方法一：由S_n+1=3S_n得：数列{S_n}是等比数列，公比为3，首项为1 …（2分）
∴Sn=1•3n-1=3n-1…（3分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n-1-3n-2=2•3n-2…（4分）
∴an=

1(n=1) 2•3n-2(n≥2)

…（5分）
方法二：∵S_n+1=3S_n，∴S_n=3S_n-1（n≥2）
以上两式相减得：a_n+1=3a_n（n≥2），…（2分）
在S_n+1=3S_n中，取n=1得：a₁+a₂=3a₁即a₂=2a₁=2，…（3分）
∴

a2

a1

=2≠3，
∴{a_n}为第二项起的等比数列，公比为3    …（4分）
∴an=

1(n=1) 2•3n-2(n≥2)

…（5分）
（Ⅱ）令bn=

n(n+1)

an

由（Ⅰ）知：{a_n}为第二项起的等比数列，公比为3，a₂=2t，
∴当n≥2时，an=2t•3n-2，bn=

n(n+1)

2t•3n-2

…（6分）
∴bn+1-bn=

(n+1)(n+2)

2t•3n-1

-

n(n+1)

2t•3n-2

=

(n+1)(1-n)

t•3n-1

…（7分）
①若t＞0，则b_n+1-b_n＜0，即b_n+1＜b_n（n≥2），
∴数列{b_n}是从第二项起的递减数列…（8分）
而b1=

2

t

，b2=

3

t

，
∴b₂＞b₁，
∴(bn)max=b2=

3

t

…（9分）
∵对任意n∈N^*，都有λ＞

n(n+1)

an

，
∴λ＞

3

t

…（10分）
②若t＜0，则b_n+1-b_n＞0，即b_n+1＞b_n（n≥2），
∴数列{b_n}是从第二项起的递增数列  …（11分）
而b1=

2

t

＜0，当n≥2时，bn=

n(n+1)

2t•3n-2

＜0，
∴b_n∈（-∞，0）…（12分）
∵对任意n∈N^*，都有λ＞

n(n+1)

an

，∴λ≥0…（13分）
综合上面：若t＞0，则λ＞

3

t

；若t＜0，则λ≥0．  …（14分）

点评：本题考查数列的通项，考查数列的单调性，考查学生的计算能力，确定数列的通项是关键．