题目内容

某市高中结业考试数学和物理两科，其考试合格指标划分为：分数大于或等于85为合格，小于85为不合格．现随机抽取这两科各100位学生成绩，结果统计如下：
分数区间 （75，80] （80，85] （85，90] （90，95] （95，100]
数学 8 12 40 32 8
物理 7 18 40 29 6
（I）试分别估计数学和物理合格的概率；
（Ⅱ）抽取-位同学数学成绩，若合格可得4个学分，若是不合格则扣除0.5个学分；抽取二位同学物理成绩，若成绩合格可得5个学分，若不合格则扣除1个学分．在（I）的前提下，
（i）记X为抽查1位同学数学成绩和抽查1位同学物理成绩所得的总学分，求随机变量X的分布列和数学期望；
（ii）求抽查5位同学物理成绩所得的总学分不少于14个的概率．
考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式,离散型随机变量及其分布列
专题：概率与统计
分析：（Ⅰ）结合所给的表格，把数学合格的人数除以100，可得数学合格的概率，把物理合格的人数除以100，可得物理合格的概率．．
（Ⅱ）（ⅰ）随机变量X的所有取值为9，4.5，3，-1.5，求出相应的概率，可得随机变量X的分布列和数学期望；
（ii）根据抽查5位同学物理成绩所得的总学分不少于14个，求出抽查5位同学物理分数，合格人数，即可求抽查5位同学物理成绩所得的总学分不少于14个的概率．
解答： 解：（Ⅰ）结合所给的表格可得数学合格的概率约为
40+32+8
100
=
4
5
，物理合格的概率约为
40+29+6
100
=
3
4
．
（Ⅱ）（ⅰ）随机变量X的所有取值为9，4.5，3，-1.5．则
P(X=9)=
4
5
×
3
4
=
3
5
； P(X=4.5)=
1
5
×
3
4
=
3
20
；P(X=3)=
4
5
×
1
4
=
1
5
； P(X=-1.5)=
1
5
×
1
4
=
1
20
．
所以，随机变量X的分布列为：
X 9 4.5 3 -1.5
P
3
5
3
20
1
5
1
20
EX=9×
3
5
+4.5×
3
20
+3×
1
5
+(-1.5)×
1
20
=6.6．
（ⅱ）抽查5位同学物理分数，合格n人，则不合格有5-n人，总学分为5n-（5-n）=6n-5个．
依题意，得5n-（5-n）≥14，解得n≥
19
6
．
所以n=4或n=5．
设“抽查5位同学物理分数所获得的学分不少于14分”为事件A，
则P(A)=
C
4
5
(
3
4
)4×
1
4
+(
3
4
)5=
81
128
．
点评：本题主要考查求离散型随机变量的分布列，古典概率及其计算公式，属于中档题．
练习册系列答案
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为了了解某班在全市“一检”中数学成绩的情况，按照分层抽样分别抽取了10名男生和5名女生的试卷成绩作为样本，他们数学成绩的茎叶图如图所示，其中茎为百位数和十位数，叶为个位数．
（Ⅰ）若该样本男女生平均分数相等，求x的值；
（Ⅱ）若规定120分以上为优秀，在该5名女生试卷中每次都抽取1份，且不重复抽取，直到确定出所有非优秀的女生为止，记所要抽取的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．
已知数列{an}中，a1=t（t为非零常数），{an}的前n项和Sn满足Sn+1=3Sn．
（Ⅰ）当t=1时，求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若对任意n∈N*，都有λ＞
n(n+1)
an
，求实数λ的取值范围．
已知△ABC三个顶点在同一个球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2，若球心到平面ABC距离为1，则该球体积为（　　）
A、2
3
π
B、4
3
π
C、6
3
π
D、8
3
π
在10个同样型号的产品中，有8个是正品，2个是次品，从中任取3个，求：
（1）其中所含次品数ξ的期望、方差；
（2）事件“含有次品”的概率．
设{an}是公差为2的等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，若a1=b1=1
（1）求{an}，{bn}的通项公式；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn．
已知M（3，-2），点N（x，y）为直线3x+4y-25=0上任意一点，
（1）求|MN|的最小值；
（2）求
x2+y2
的最小值．
关于实数x的方程x+
1
x
=t-2|log2x|在区间[
1
2
，2]上有两个不同的实数根，则t∈
 
．
若f(x)=
f(x-4)，x＞0
ex+
∫
2
1
1
t
dt，x≤0
，则f（2016）等于（　　）
A、0
B、ln2
C、1+e2
D、1+ln2

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