Question

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S₃=a

2 2

，且S₁，S₂，S₄成等比数列，
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）若{a_n}又是等比数列，令b_n=

9

Sn•Sn+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）先由S₃=a

2 2

，利用等差数列的性质，求出a₂；再由S₁，S₂，S₄成等比数列，利用等比数列的性质，求出公差d，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由（1）知若{a_n}又是等比数列，则a_n=3，由此利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵S₃=a

2 2

，∴3a2=a22，
解得a₂=0或a₂=3，
∵S₁，S₂，S₄成等比数列，
∴S22=S1S4，
∵S₁=a₂-d，S₂=2a₂-d，S₄=4a₂+2d，
∴(2a2-d)2=(a2-d)(4a2+2d)，
若a₂=0，则d²=-2d²，解得d=0，此时S₂=0，不合题意；
若a₂=3，则（6-d）²=（3-d）（12+2d），
解得d=0或d=2，
∴a_n=3或a_n=2n-1．
（2）由（1）知若{a_n}又是等比数列，则a_n=3，
∴S_n=3n，
∴b_n=

9

Sn•Sn+1

=

9

3n•3(n+1)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴数列{b_n}的前n项和
T_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列性质的合理运用，注意裂项求和法的合理运用，易错点是容易产生增根或容易丢解．