Question

已知函数f（x）=

-|x3-2x2+x| (x＜1) lnx (x≥1)

，若命题“存在t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt“是假命题，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,数形结合,函数的性质及应用,简易逻辑

分析：分析x＜1的函数的单调区间，画出函数f（x）的图象，命题“存在t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt“是假命题，即为任意t∈R，且t≠0，使得f（t）＜kt恒成立，作出直线y=kx，设直线与y=lnx（x≥1）图象相切于点（m，lnm），求出切点和斜率，设直线与y=x（x-1）²（x≤0）图象相切于点（0，0），则有切线斜率k=1，再由图象观察即可得到范围．

解答： 解：当x＜1时，f（x）=-|x（x-1）²|=

x(x-1)2，x＜0 -x(x-1)2，0≤x＜1

，
当x＜0，f′（x）=（x-1）（3x-1）＞0，则有f（x）得递增，
当0≤x＜1，f′（x）=-（x-1）（3x-1），则区间（0，

1

3

）递减，
（

1

3

，1）递增，
画出函数y=f（x）在R上的图象，如右：
命题“存在t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt“是假命题，
即为任意t∈R，且t≠0，使得f（t）＜kt恒成立，
作出直线y=kx，设直线与y=lnx（x≥1）图象相切于点（m，lnm），
则由（lnx）′=

1

x

，得到k=

1

m

，lnm=km，解得，m=e，k=

1

e

；
设直线与y=x（x-1）²（x≤0）图象相切于点（0，0），
则y′=[x（x-1）²]′=（x-1）（3x-1），则有k=1，
由图象可得，当直线绕着原点旋转时，转到与与y=lnx（x≥1）图象相切，
以及与y=x（x-1）²（x≤0）图象相切时，直线恒在上方，即f（t）＜kt恒成立，
故实数k的取值范围是（

1

e

，1）．

点评：本题考查分段函数及运用，考查分段函数的图象及直线与图象之间的关系，考查存在性命题与全称性命题的转化，考查不等式的恒成立问题转化为函数图象之间的关系，是一道综合题．