Question

已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x⁴．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=

f(x)+1，x≥0 1，x＜0

，求满足g（1-x）＞g（2x）的x的取值范围；
（3）对任意的x∈[a，a+2]，不等式f（a-x）+2f（x）≤0恒成立，试求实数a的值．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）x＜0时，-x＞0，f（-x）=（-x）^4₌x⁴，又f（x）为奇函数，f（-x）=-f（x）可求f（x）的解析式；（2）x≥0时，f（x）=x⁴，代入g（x），分类讨论求解不等式；（3）有函数解析式得函数为R上的增函数，且2f（x）=f（

4	2

x），然后综合利用奇函数和增函数化简不等式，转化恒成立问题．

解答： 解：（1）函数f（x）是定义域为R的奇函数，
则当x=0时，f（0）=0，
当x＜0时，-x＞0，f（-x）=（-x）^4₌x⁴
    又∵f（x）为奇函数，f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-f（-x）=-x⁴，
综上f（x）=

x4 ，x＞0 0 x=0 -x4 ，x＜0

（2）由（1）知x≥0时，f（x）=x^4_，则设g（x）=

x4+1， x≥0 1， x＜0

当x＜0时，2x＜0，g（2x）=1，
        1-x＞0，g（1-x）=（1-x）⁴+1＞1，
        g（1-x）＞g（2x）成立；
当0≤x≤1时，2x≥0，1-x≥0，g（x）=x⁴+1单调递增，g（1-x）＞g（2x）成立只需1-x＞2x⇒x＜

1

3

，则0≤x≤

1

3

；
当x＞1时，2x＞0，g（2x）＞1，
        1-x＜0，g（1-x）=1，
        g（1-x）＞g（2x）不成立；
综上可述，x的取值范围为（-∞，0）∪（0，

1

3

）=（-∞，

1

3

）
（3）由（1）知f（x）=

x4， x≥0 -x4 x＜0

则函数在R上单调递增，且2f（x）=f（

4	2

x），
不等式f（a-x）+2f（x）≤0化简如下：
2f（x）≤-f（a-x），
f（

4	2

x）≤f（x-a），

4	2

x≤x-a，
a≤（1-

4	2

）x，
即对任意的x∈[a，a+2]，不等式a≤（1-

4	2

）x恒成立
令h（x）=（1-

4	2

）x，1-

4	2

＜0，函数h（x）在x∈[a，a+2]单调递减，当x=a+2时取得最小值（1-

4	2

）（a+2），
则a≤（1-

4	2

）（a+2），解之得a≤2 

3

4

-2．

点评：本题为函数的单调性与奇偶性综合应用，关键在于分段函数的处理．