Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，如图E、F分别是BB₁，CD的中点．
（Ⅰ）求证：平面AD₁F⊥平面ADE；
（Ⅱ）求直线EF与AD₁F所成角的正弦值．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：（1）设棱长为2，以D为原点，建立空间直角坐标系，利用微量 法能证明平面AD₁F⊥平面ADE．
（Ⅱ）由

EF

=（-2，-1，-1），平面AD₁F的法向量

m

=（1，2，1），利用向量法能求出直线EF与AD₁F所成角的正弦值．

解答： （1）证明：设棱长为2，以D为原点，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（2，0，0），E（2，2，1），
F（0，1，0），D₁（0，0，2），

DA

=(2，0，0)，

DE

=(2，2，1)，

AD1

=(-2，0，2)，

AF

=（-2，1，0），
设平面ADE的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • DA =2x=0 n • DE =2x+2y+z=0

，
取y=1，得

n

=(0，1，-2)，
设平面AD₁F的法向量

m

=(a，b，c)，

m • AD1 =-2a+2c=0 m • AF =-2a+b=0

，取a=1，得

m

=（1，2，1），
∵

n

•

m

=0+2-2=0，
∴平面AD₁F⊥平面ADE．
（Ⅱ）解：设直线EF与平面AD₁F所成角的为θ，
∵

EF

=（-2，-1，-1），平面AD₁F的法向量

m

=（1，2，1），
∴sinθ=|cos＜

EF

，

m

＞|=|

-2-2-1

6 • 6

|=

5

6

．
直线EF与AD₁F所成角的正弦值

5

6

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．