Question

若双曲线C的离心率为2，其中一个焦点F（2，0）
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若直线l斜率为2且过点F，求直线l被双曲线C截得的弦长．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由已知条件列出方程求出a，利用双曲线的三参数的关系，求出b，据双曲线焦点的位置求出双曲线的标准方程；
（2）直线方程为y=2x-4代入x2-

y2

3

=1，整理，利用弦长公式，可求直线l被双曲线C截得的弦长．

解答： 解：∵离心率等于2，一个焦点的坐标为（2，0），
∴

c

a

=2，c=2且焦点在x轴上，
∴a=1
∵c²=a²+b²
∴b²=3
∴双曲线C的标准方程为x2-

y2

3

=1；
（2）直线方程为y=2x-4代入x2-

y2

3

=1，整理可得x²-16x+19=0，
∴直线l被双曲线C截得的弦长为

1+4

•

162-4•19

=30．

点评：求圆锥曲线的方程关键先判断出焦点的位置、考查双曲线中三参数的关系为c²=a²+b²，注意与椭圆中三个参数关系的区别．