Question

已知数列{a_n}的前n项之和S_n=n²+n．
（1）求数列的通项公式a_n；
（2）设b_n=

2

(n+1)an

，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求T₂₀₁₃．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n，当n=1时，a₁=S₁=1，由此求出an=2n，n∈N*．
（2）由b_n=

2

(n+1)an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂项求和法能求出T₂₀₁₃．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}的前n项之和S_n=n²+n，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n，（4分）
当n=1时，a₁=S₁=1，（5分）
当n=1时上式也适用，
∴an=2n，n∈N*．（6分）
（2）b_n=

2

(n+1)an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，（9分）
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

，（11分）
∴T₂₀₁₃=1-

1

2014

=

2013

2014

．（12分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．