Question

数列{a_n}满足：a₁=2，a₂=3，S_n+1+S_n-1=2S_n+1（n≥2，n∈N^*），S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列；
（2）设b_n=2ⁿ•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得（S_n+1-S_n）-（S_n-S_n-1）=1（n≥2，n∈N^*），由此能证明数列{a_n}是以a₁=2为首项，公差为1的等差数列．
（2）由（1）知a_n=n+1．b_n=2ⁿ•a_n=（n+1）•2ⁿ，由此利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： （1）证明：∵数列{a_n}满足：a₁=2，a₂=3，
S_n+1+S_n-1=2S_n+1（n≥2，n∈N^*），
∴（S_n+1-S_n）-（S_n-S_n-1）=1（n≥2，n∈N^*），
即a_n+1-a_n=1（n≥2，n∈N^*），且a₂-a₁=1．
∴数列{a_n}是以a₁=2为首项，公差为1的等差数列．
（2）解：由（1）知a_n=n+1．b_n=2ⁿ•a_n=（n+1）•2ⁿ，
∴T_n=2×2¹+3×2²+…+n×2^n-1+（n+1）×2ⁿ①
∴2T_n=2×2³+3×2³+…+（n+1）×2ⁿ⁺¹②
①-②得：-T_n=2×2¹+2²+…+2ⁿ-（n+1）×2ⁿ⁺¹
=4+

4(1-2n-1)

1-2

-（n+1）×2ⁿ⁺¹
=-n×2ⁿ⁺¹
∴T_n=n×2ⁿ⁺¹．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．