Question

12．如图所示，在△ABC中，3$\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}$，3$\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AC}$，AM是BC边上的中线，且交DE于N，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$．
（1）用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$分别表示向量$\overrightarrow{DN}$，$\overrightarrow{AM}$；
（2）设∠BAC=θ，tanθ=$\sqrt{15}$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$均为单位向量，求$\overrightarrow{CD}$$•\overrightarrow{AM}$的值．

Answer 1

分析 （1）直接由平面向量的加减法法则及共线向量基本定理得答案；
（2）把$\overrightarrow{CD}$用$\overrightarrow{AD}$ $\overrightarrow{AC}$表示，代入$\overrightarrow{CD}$$•\overrightarrow{AM}$ 展开，利用两个向量的数量积公式，求得答案．

解答 解：（1）∵在△ABC中，3$\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}$，3$\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AC}$，AM是BC边上的中线，且交DE于N，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$．
如图，$\overrightarrow{AE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{DE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BC}$=$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$），$\overrightarrow{DN}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）．
$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}$）．
（2）∵∠BAC=θ，tanθ=$\sqrt{15}$，∴cosθ=$\frac{1}{4}$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1×1×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\overrightarrow{CD}$$•\overrightarrow{AM}$=（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{2\overrightarrow{a}}{3}$-$\overrightarrow{b}$）•$\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}$=$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}}{3}$-$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{6}$-$\frac{{\overrightarrow{b}}^{2}}{2}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{6}•\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$=-$\frac{5}{24}$．

点评 本题考查平面向量的加减法法则，考查平面向量的数量积运算，属于中档题．