Question

6．若对任意的x₁∈[e^-1，e]，总存在唯一的x₂∈[-1，1]，使得lnx₁-x₁+1+a=x₂²e^x₂成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{2}{e}$，e+1]
• B． （e+$\frac{1}{e}$-2，e]
• C． [e-2，$\frac{2}{e}$）
• D． （$\frac{2}{e}$，2e-2]

Answer 1

分析 设f（x）=lnx-x+1+a，g（x）=x²e^x，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值，建立条件关系进行求解即可．

解答 解：设f（x）=lnx-x+1+a，f′（x）=$\frac{1-x}{x}$，
当x∈[e^-1，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，e]时，f′（x）＜0，
∴f（x）在[e^-1，1）上是增函数，在x∈（1，e]上是减函数，
∴f（x）_max=a，又f（e^-1）=a-$\frac{1}{e}$，f（e）=2+a-e，
∴f（x）∈[a+2-e，a]，
设g（x）=x²e^x，
∵对任意的x₁∈[e^-1，e]，总存在唯一的x₂∈[-1，1]，使得lnx₁-x₁+1+a=x₂²e${\;}^{{x}_{1}}$成立，
∴[a+2-e，a]是g（x）的不含极值点的单值区间的子集，
∵g′（x）=x（2+x）e^x，∴x∈[-1，0）时，g′（x）＜0，g（x）=x²e^x是减函数，
当x∈（0，1]，g′（x）＞0，g（x）=x²e^x是增函数，
∵g（-1）=$\frac{1}{e}$＜e=g（1），
∴[a+2-e，a]⊆（$\frac{1}{e}$，e]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+2-e＞\frac{1}{e}}\\{a≤e}\end{array}\right.$，解得$e+\frac{1}{e}-2＜a≤e$．
故选：B．

点评 本题主要考查方程恒成立问题，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和取值范围是解决本题的关键，是中档题．