Question

7．函数f（x）=|lnx|-ax在区间（0，3]上有三个零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{ln3}{3}$）
• B． （0，$\frac{ln3}{3}$]
• C． （$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{e}$）
• D． [$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{e}$）

Answer 1

分析 画出函数y=|lnx|的图象，然后借助于图象，结合在区间（0，3]上有三个零点，进行判断．

解答 解：作出函数y=|lnx|与y=ax的图象如图示：
当a≤0时，显然，不合乎题意，
当a＞0时，当x∈（0，1]时，存在一个零点，
当x＞1时，f（x）=lnx，
可得g（x）=lnx-ax，（x∈（1，3]）
g′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$，
若g′（x）＜0，可得x＞$\frac{1}{a}$，g（x）为减函数，
若g′（x）＞0，可得x＜$\frac{1}{a}$，g（x）为增函数，
此时f（x）必须在[1，3]上有两个交点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（\frac{1}{a}）＞0}\\{g（3）≤0}\\{g（1）≤0}\end{array}\right.$，解得，$\frac{ln3}{3}$≤a＜$\frac{1}{e}$，
综上，函数f（x）=|lnx|-ax在区间（0，3]上有三个零点时，实数a的取值范围是[$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{e}$），
故选：D．

点评 本题考查函数零点的判定定理，考查了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．