Question

20．定义f″（x）是y=f（x）的导函数y=f′（x）的导函数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．可以证明，任意三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题：
①存在有两个及两个以上对称中心的三次函数；
②函数f（x）=x³-3x²-3x+5的对称中心也是函数$y=tan\frac{π}{2}x$的一个对称中心；
③存在三次函数h（x），方程h′（x）=0有实数解x₀，且点（x₀，h（x₀））为函数y=h（x）的对称中心；
④若函数$g（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-\frac{5}{12}$，则$g（\frac{1}{2016}）+g（\frac{2}{2016}）+g（\frac{3}{2016}）+…+g（\frac{2015}{2016}）$=-1007.5．
其中正确命题的序号为②③④（把所有正确命题的序号都填上）．

Answer 1

分析 利用三次函数对称中心的定义和性质进行判断①③；分别求出函数f（x）=x³-3x²-3x+5与函数$y=tan\frac{π}{2}x$的对称中心判断②；求出函数$g（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-\frac{5}{12}$的对称中心，可得g（x）+g（1-x）=-1，进一步求得$g（\frac{1}{2016}）+g（\frac{2}{2016}）+g（\frac{3}{2016}）+…+g（\frac{2015}{2016}）$=-1007.5判断④．

解答 解：∵任何三次函数的二阶导数都是一次函数，∴任何三次函数只有一个对称中心，故①不正确；
由f（x）=x³-3x²-3x+5，得f′（x）=3x²-6x-3，f″（x）=6x-6，由6x-6=0，得x=1，函数f（x）的对称中心为（1，0），
又由$\frac{π}{2}x=\frac{kπ}{2}，k∈Z$，得x=k，k∈Z，∴f（x）的对称中心是函数$y=tan\frac{π}{2}x$的一个对称中心，故②正确；
∵任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，
∴存在三次函数f′（x）=0有实数解x₀，点（x₀，f（x₀））为y=f（x）的对称中心，即③正确；
∵$g（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-\frac{5}{12}$，
∴g′（x）=x²-x，g''（x）=2x-1，
令g''（x）=2x-1=0，得x=$\frac{1}{2}$，
∵g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{2}$）³-$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{12}$=-$\frac{1}{2}$，
∴函数$g（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-\frac{5}{12}$的对称中心是（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
∴g（x）+g（1-x）=-1，
∴$g（\frac{1}{2016}）+g（\frac{2}{2016}）+g（\frac{3}{2016}）+…+g（\frac{2015}{2016}）$=-1007.5，故④正确．
故答案为：②③④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，主要考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查化简计算能力，求函数的值以及函数的对称性的应用，属于难题．