Question

已知f（x）=cos2x+4sinx．
（Ⅰ）求f′（-

π

4

）的值；
（Ⅱ）求f（x）的最大值以及取得最大值时x的值．

Answer 1

考点：正弦函数的单调性,导数的运算

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）求函数的导数，即可求f′（-

π

4

）的值；
（Ⅱ）利用三角函数的图象和性质，即可求f（x）的最大值以及取得最大值时x的值．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=-2sin2x+4cosx，
则f′（-

π

4

）=-2sin（-

π

2

）+4cos（-

π

4

）=2+4×

2

2

=2+2

2

；
（Ⅱ）f（x）=1-2sin²x+4sinx=-2（sinx-1）²+3，
因为sinx∈[-1，1]，所以当sinx=1即x=

π

2

+2kπ，k∈Z时，f（x）取最大值3．

点评：本题主要考查三角函数的单调性的应用，利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键．