Question

QQ先生的鱼缸中有7条鱼，其中6条青鱼和1条黑鱼，计划从当天开始，每天中午从该鱼缸中抓出1条鱼（每条鱼被抓到的概率相同）并吃掉．若黑鱼未被抓出，则它每晚要吃掉1条青鱼（规定青鱼不吃鱼）．
（1）求这7条鱼中至少有5条被QQ先生吃掉的概率；
（2）以ξ表示这7条鱼中被QQ先生吃掉的鱼的条数，求Eξ．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,等可能事件的概率

专题：应用题,概率与统计

分析：（1）确定最坏的情况的概率，利用对立事件的概率公式，可求这7条鱼中至少有5条被QQ先生吃掉的概率；
（2）QQ先生能吃到的鱼的条数ξ可取4，5，6，7，求出相应的概率，可得ξ的分布列和数学期望．

解答： 解：（1）QQ先生能吃到的鱼的条数ξ可取4，5，6，7，最坏的情况是只能吃到4条鱼：前3天各吃掉1条青鱼，其余3条青鱼被黑鱼吃掉，第4天QQ先生吃掉黑鱼，其概率为P(ξ=4)=

6

7

×

4

5

×

2

3

=

16

35

故QQ先生至少吃掉5条鱼的概率是P(ξ≥5)=1-P(ξ=4)=

19

35

．
（2）与（1）相仿地可得，（6分）
P(ξ=5)=

6

7

×

4

5

×

1

3

=

8

35

，P(ξ=6)=

6

7

×

1

5

=

6

35

，P(ξ=7)=

1

7

=

5

35

故Eξ=

4×16

35

+

5×8

35

+

6×6

35

+

7×5

35

=5，
故所求期望值为5．（12分）

点评：本题考查概率知识，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，正确求概率是关键．