Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=

1

4

x²的焦点，离心率为

2 5

5

．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若

MA

=λ₁

AF

，

MB

=λ₂

BF

，求λ₁+λ₂的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，由已知条件推导出b=1，

c

a

=

a2-b2 a2

=

2 5

5

，由此能求出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（0，y₀），设直线l的方程为y=k（x-2），代入方程

x2

5

+y2=1，得（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出λ₁+λ₂的值．

解答： （Ⅰ）解：设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0），
抛物线方程化为x²=4y，其焦点为（0，1），…（2分）
则椭圆C的一个顶点为（0，1），即b=1，
由e=

c

a

=

a2-b2 a2

=

2 5

5

，解得a²=5，
∴椭圆C的标准方程为

x2

5

+y2=1．…（5分）
（Ⅱ）证明：∵椭圆C的方程为

x2

5

+y2=1，
∴椭圆C的右焦点F（2，0），…（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（0，y₀），由题意知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y=k（x-2），代入方程

x2

5

+y2=1，
并整理，得（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0，…（7分）
∴x1+x2=

20k2

1+5k2

，x1x2=

20k2-5

1+5k2

，…（8分）
又

MA

=(x1，y1-y0)，

MB

=(x2，y2-y0)，

AF

=(2-x1，-y1)，

BF

=(2-x2，-y2)，
而

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，
即（x₁-0，y₁-y₀）=λ₁（2-x₁，-y₁），（x₂-0，y₂-y₀）=λ₂（2-x₂，-y₂），
∴λ1=

x1

2-x1

，λ2=

x2

2-x2

，…（10分）
∴λ₁+λ₂=

x1

2-x1

+

x2

2-x2

=

2(x1+x2)-2x1x2

4-2(x1+x2)+x1x2

=-10．…（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两数和的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和函数与方程思想的合理运用．