Question

已知椭圆5x²+9y²=45，椭圆的右焦点为F，
（1）求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长；
（2）判断点A（1，1）与椭圆的位置关系，并求以A为中点椭圆的弦所在的直线方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出直线的方程，联立直线与椭圆的方程利用由弦长公式可得答案．
（2）设以A（1，1）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），A（1，1）为EF中点，x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，利用点差法能够求出以A（1，1）为中点椭圆的弦所在的直线方程．

解答： 解：（1）由题意可得：过点F且斜率为1的直线方程为y=x-2，
联立直线与椭圆的方程可得：14x²-36x-9=0，
∴x₁+x₂=

18

7

，x₁•x₂=-

9

14

，
由弦长公式可得：|MN|=

1+1

•

( 18 7 )2+ 36 14

=

30

7

（2）设以A（1，1）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
∵A（1，1）为EF中点，
∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
把E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）分别代入椭圆5x²+9y²=45，
得5x₁²+9y₁²=45，5x₂²+9y₂²=45
∴5（x₁+x₂）（x₁-x₂）+9（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴10（x₁-x₂）+18（y₁-y₂）=0，
∴k=

y1-y2

x1-x2

=-

5

9

，
∴以A（1，1）为中点椭圆的弦所在的直线方程为：y-1=-

5

9

（x-1），
整理，得5x+9y-14=0．

点评：本题主要考查了椭圆的应用，考查了弦长问题与弦中点问题，正确运用点差法是关键．