Question

关于函数f（x）=

|x|

|x|-1

给出下列四个命题：
①当x＞0时，y=f（x）单调递减且没有最值；
②方程f（x）=kx+b（k≠0）一定有解；
③如果方程f（x）=k有解，则解的个数一定是偶数；
④y=f（x）是偶函数且有最小值．则其中真命题是

 

．（只要写标题号）

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：①x＞0时，由x≠1知y=f（x）不具有单调性，判定命题错误；
②函数f（x）=

|x|

|x|-1

是偶函数，在x＞0且k＞0时，判定函数y=f（x）与y=kx在第一象限内有交点；由对称性知，x＜0且k＞0时，函数y=f（x）与y=kx在第二象限内有交点；得方程f（x）=kx+b（k≠0）有解；
③函数f（x）=

|x|

|x|-1

是偶函数，且f（x）=0，举例说明k=0时，方程f（x）=k有1个解；
④函数f（x）=

|x|

|x|-1

是偶函数，画出函数的图象，即可判断结论是否正确．

解答： 解：①当x＞0时，y=f（x）=

x

x-1

=1+

1

x-1

在区间（0，1）和（1，+∞）上分别是单调递减的函数，且无最值；
∴命题①错误；
②函数f（x）=

|x|

|x|-1

是偶函数，当x＞0时，y=f（x）=

x

x-1

=1+

1

x-1

在区间（0，1）和（1，+∞）上分别是单调递减的函数；
当k＞0时，函数y=f（x）与y=kx在第一象限内一定有交点；
由对称性知，当x＜0且k＞0时，函数y=f（x）与y=kx在第二象限内一定有交点；
∴方程f（x）=kx+b（k≠0）一定有解；
∴命题②正确；
③∵函数f（x）=

|x|

|x|-1

是偶函数，且f（x）=0当k=0时，函数y=f（x）与y=k的图象只有一个交点，∴方程f（x）=k的解的个数是奇数；∴命题③错误；
④∵函数f（x）=

|x|

|x|-1

是偶函数，x≠±1，
x＞0时，y=f（x）=

x

x-1

=1+

1

x-1

在区间（0，1）和（1，+∞）上分别是单调递减的函数；
由对称性知，x＜0时，y=f（x）=

-x

-x-1

=1-

1

x+1

在区间（-∞，-1）和（-1，0）上分别是单调递增的函数；
如图所示，
∴函数f（x）无最小值，命题④错误．
故答案为：②．

点评：本题考查了含有绝对值的分式函数的图象与性质的问题，解题时应先去掉绝对值，化为分段函数，把分式函数分离常数，是易错题．