Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB=4，AD=2，PA=2，PD=2

2

，∠PAB=60°
（Ⅰ）证明AD⊥PB；
（Ⅱ）求二面角P-BD-A的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件利用勾股定理推导出AD⊥PA，利用矩形性质得到AD⊥AB，由此证明AD⊥平面PAB，从而得到AD⊥PB．
（Ⅱ）过点P伯PH⊥AB于H，过点H作HE⊥BD于E，连结PE，由题设条件推导出∠PEH是二面角P-BD-A的平面角，由此能求出二面角P-BD-A的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵在△PAD中，由题设PA=AD=2，PD=

2

，
∴PA²+AD²=PD²，
∴AD⊥PA，
∵在矩形ABCD中，AD⊥AB，又PA∩AB=A，
∴AD⊥平面PAB，
∵PB?平面PAB，∴AD⊥PB．
（Ⅱ）过点P伯PH⊥AB于H，过点H作HE⊥BD于E，连结PE，
∵AD⊥平面PAB，PH?平面PAB，∴AD⊥PH，
又∵AD∩AB=A，
∴PH⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PH⊥BD，HE⊥BD，PH∩HE=H，
∴BD⊥平面PHE，BD⊥PE，
从而∠PEH是二面角P-BD-A的平面角，
PH=PA•sin60°=

3

，AH=PAcos60°=1，
BH=AB-AH=3，BD=

AB2+AD2

=2

5

，
HE=

AD

BD

•BH=

3

5

，PE=

PH2+HE2

=

2 6

5

，
∴在Rt△PHE中，cos∠PEH=

HE

PE

=

6

4

，
∴二面角P-BD-A的余弦值为

6

4

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．