Question

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=

3

，cos²A-cos²B=

3

sinAcosA-

3

sinBcosB
（1）求角C的大小；
（2）若sinA=

4

5

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理的应用,三角函数中的恒等变换应用

专题：解三角形

分析：（1）利用倍角公式、两角和差的正弦公式可得sin(2A-

π

6

)=sin(2B-

π

6

)，由a≠b得，A≠B，又A+B∈（0，π），可得2A-

π

6

+2B-

π

6

=π，即可得出．
（2）利用正弦定理可得a，利用两角和差的正弦公式可得sinB，再利用三角形的面积计算公式即可得出．

解答： 解：（1）由题意得，

1+cos2A

2

-

1+cos2B

2

=

3

2

sin2A-

3

2

sin2B，
∴

3

2

sin2A-

1

2

cos2A=

3

2

sin2B-

1

2

cos2B，
化为sin(2A-

π

6

)=sin(2B-

π

6

)，
由a≠b得，A≠B，又A+B∈（0，π），
得2A-

π

6

+2B-

π

6

=π，即A+B=

2π

3

，
∴C=

π

3

；
（2）由c=

3

，利用正弦定理可得

a

sinA

=

c

sinC

，得a=

8

5

，
由a＜c，得A＜C，从而cosA=

3

5

，故sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=

4+3 3

10

，
∴S=

1

2

acsinB=

8 3 +18

25

．

点评：本题考查了正弦定理、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．