Question

下列有关命题的说法：
①命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题；
②“a=3”是“直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a-1）y=a-7相互垂直”的充要条件；
③若命题“?x∈R，x²+x+a＜0”是假命题，则实数a的取值范围为[

1

4

，+∞）；
④函数y=2+log_a（x-2）（a＞0且a≠1）的图象必经过点（3，2）；
其中正确的有

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①先判断原命题的真假，再由原命题和逆否命题等价，即可得到；
②求出两直线垂直的等价条件，再根据充分必要条件的定义，即可判断；
③考虑命题的否定为真，运用判别式不大于0，解出a即可判断；
④根据对数函数的图象经过点（1，0），由图象平移即可得到定点．

解答： 解：①命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，由原命题与其逆否命题等价，故其逆否命题为真命题，即①正确；
②“直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a-1）y=a-7相互垂直”的等价条件为“a=

2

5

”，故②错；
③若命题“?x∈R，x²+x+a＜0”是假命题，则命题的否定“?x∈R，x²+x+a≥0”为真命题，
即有1-4a≤0，a≥

1

4

，故③正确；
④由于对数函数的图象经过点（1，0），将图象向右平移2个单位，再向上平移2个单位，
即可得到函数y=2+log_a（x-2）（a＞0且a≠1）的图象，故必经过点（3，2），故④正确．
故答案为：①③④．

点评：本题考查简易逻辑的基础知识：四种命题及关系、命题与命题的否定的关系、充分必要条件的判断，同时考查对数函数的图象的特点，属于基础题．