Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c．且满足

a

sinA

=

c

3 cosC

．
（1）求角C的大小；
（2）求

3

sinA-cosB的最大值．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）根据正弦定理和条件可得

c

sinC

=

c

3 cosC

，再由商的关系求出tanC的值，即可求出角C的大小；
（2）由（1）和内角和定理得B=

2π

3

-A，并求出角A的范围，代入式子利用两角和差的正弦、余弦函数公式化简，由A的范围和正弦函数的最大值，求出式子的最大值．

解答： 解：（1）由正弦定理得，

a

sinA

=

c

sinC

，
因为

a

sinA

=

c

3 cosC

，所以

c

sinC

=

c

3 cosC

，
则sinC=

3

cosC，即tanC=

3

，
由0＜C＜π得，C=

π

3

；
（2）由（1）得，A+B=π-

π

3

，则B=

2π

3

-A，
则0＜A＜

2π

3

，
所以

3

sinA-cosB=

3

sinA-cos（

2π

3

-A）
=

3

sinA-（-

1

2

cosA+

3

2

sinA）
=

3

2

sinA+

1

2

cosA
=sin(A+

π

6

)，
由0＜A＜

2π

3

得，

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，
当A+

π

6

=

π

2

时，即A=

π

3

，sin(A+

π

6

)的最大值是1，
故

3

sinA-cosB的最大值是1．

点评：本题考查了正弦定理，两角和差的正弦、余弦函数公式，以及正弦函数的性质等，注意内角的范围，属于中档题．