Question

已知在△ABC中，∠B=90°，SA⊥面ABC，AM⊥SC，AN⊥SB垂足分别为N、M，求证：AN⊥BC，MN⊥SC．

Answer 1

考点：空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：首先，证明BC⊥平面SAB，然后，从而得到AN⊥BC；对于MN⊥SC的证明，可以先证明SC⊥平面AMN，然后，很容易得到MN⊥SC．

解答： 证明：∵SA⊥面ABC，
BC⊆平面ABC，
∴SA⊥BC，
又∵AB⊥BC，SA∩AB=A，
∴BC⊥平面SAB，
∵AN⊆平面SAB，
∴AN⊥BC；
由上述证明知AN⊥BC，
∵AN⊥SB，且SB∩BC=B，
∴AN⊥平面SBC，
∵SC⊆平面SBC，
∴SC⊥AN，又AM⊥SC，且AM∩AN=A，
∴SC⊥平面AMN，
∴MN⊥SC．

点评：本题重点考查了空间中直线与平面垂直，直线与直线垂直等位置关系，解题关键是线面垂直和线线垂直的相互转化，属于中档题．