Question

如果函数f（x）是定义在R上的增函数，且f（x•y）=f（x）+f（y）对于任何实数x，y都成立，
（1）求f（0）的值；
（2）证明：f（

x

y

）=f（x）-f（y）；
（3）已知f（3）=1，且f（a）＞f（a-1）+2，求a的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）令x=y=0，则可求出f（0）；
（2）令x=y=1，则f（1）=0，令xy=1，得到f（

1

y

）=-f（y），再由条件将y换成

1

y

，即可得证；
（3）由f（3）=1，得到f（9）=2．不等式等价为f（a）＞f（9a-9），再由单调性即可解出a的范围．

解答： （1）解：∵f（x•y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=0，则f（0）=2f（0），
∴f（0）=0；
（2）证明：∵f（x•y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=1，则f（1）=2f（1），
∴f（1）=0，
令xy=1，则x=

1

y

，f（1）=f（y）+f（

1

y

）．
∴f（

1

y

）=-f（y），
∴f（

x

y

）=f（x）+f（

1

y

）=f（x）-f（y）．
（3）解：∵f（3）=1，
∴f（9）=2f（3）=2．
则f（a）＞f（a-1）+2，即为f（a）＞f（a-1）+f（9），
即有f（a）＞f（9a-9），
∵函数f（x）是定义在R上的增函数，
∴a＞9a-9，
∴a＜

9

8

．
则a的取值范围是（-∞，

9

8

）．

点评：本题考查抽象函数及应用，考查解决抽象函数值的常用方法：赋值法，考查函数的单调性和运用，属于中档题．