Question

已知等差数列{a_n}中，公差到d＞0，其前n项和为S_n，且满足a₂•a₃=45，a₁+a₄=14．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）通过{b_n}=

Sn

n+c

构造一个新的数列{b_n}，是否存在一个非零常数c，使{b_n}也为等差数列；
（3）求f（n）=

bn

(n+2005)•bn+1

（n∈N^*）的最大值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）利用已知条件结合等差数列的性质列方程组求得a₂，a₃，则公差可求，代入等差数列的通项公式得答案；
（2）求出等差数列的前n项和，代入b_n=

Sn

n+c

，验证存在一个非零常数c=-

1

2

，使{b_n}也为等差数列；
（3）把（2）中求出的{b_n}的通项公式代入f（n）=

bn

(n+2005)•bn+1

，利用基本不等式放缩，最后作差判断使f（n）求得最大值的n并求得最大值．

解答： 解：（1）∵等差数列{a_n}中，公差到d＞0，且a₂•a₃=45，a₁+a₄=14，
∴

a2a3=45 a1+a4=a2+a3=14

，解得

a2=5 a3=9

，
∴d=4，
a_n=a₂+4（n-2）=4n-3；
（2）Sn=

n(1+4n-3)

2

=2n(n-

1

2

)，代入b_n=

Sn

n+c

得，
bn=

2n(n- 1 2 )

n+c

，令c=-

1

2

，即得b_n=2n，
数列{b_n}为等差数列，
∴存在一个非零常数c=-

1

2

，使{b_n}也为等差数列；
（3）f（n）=

bn

(n+2005)•bn+1

=

n

(n+2005)(n+1)

=

1

n+ 2005 n +2006

＜

1

2 2005 +2006

，
∵45-

2005

-(

2005

-44)=89-2

2005

=

7921

-

8020

＜0，
即45-

2005

＜

2005

-44，
∴n=45时，f（n）有最大值

45

2050×46

=

9

18860

．

点评：本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，训练了利用基本不等式和放缩法证明数列不等式，是压轴题．