Question

9．已知函数f（x）=ax³+bx²+4x的极小值为-8，其导函数y=f'（x）的图象经过点（-2，0），如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数y=f（x）在区间[-3，2]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意可知函数在x=-2处取极小值8，由此列出方程组求出a和b，由此能求出f（x）的解析式．
（Ⅱ）由f′（x）=-3x²-4x+4=0，得${x}_{1}=\frac{2}{3}$，x₂=-2，由此能求出函数y=f（x）在区间[-3，2]上的最大值，最小值．

解答 解：（Ⅰ）根据题意可知函数在x=-2处取极小值8，
∵f（x）=ax³+bx²+4x，
∴f′（x）=3ax²+2bx+4
∴$\left\{\begin{array}{l}{{f}^{'}（-2）=12a-4b+4=0}\\{f（-2）=-8a+4b-8=-8}\end{array}\right.$，
解得：a=-1，b=-2
∴f（x）=-x³-2x²+4x．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=-3x²-4x+4，
由f′（x）=0，得${x}_{1}=\frac{2}{3}$，x₂=-2，
∵f（-3）=-（-3）³-2（-3）²+4（-3）=-3，
f（-2）=-（-2）³-2（-2）²+4（-2）=-8，
f（$\frac{2}{3}$）=-（$\frac{2}{3}$）³-2（$\frac{2}{3}$）²+4×$\frac{2}{3}$=-$\frac{8}{27}$，
f（2）=-2³-2•2²+4•2=8．
∴函数y=f（x）在区间[-3，2]上的最大值为8，最小值为-8．

点评 本题考查函数的解析式的求法，考查函数的最大值、最小值的求法，考查导数的应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想、分类讨论思想，是中档题．