Question

9．设函数f（x）=lnx+ax，若存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞0，则a的取值范围是（-$\frac{1}{e}$，+∞）．

Answer 1

分析 求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，求出f（x）的最大值，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$+a=$\frac{1+ax}{x}$，
a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，f（1）=a≥0，
故存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞0，
a＜0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜-$\frac{1}{a}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞-$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（0，-$\frac{1}{a}$）递增，在（-$\frac{1}{a}$，+∞）递减，
∴f（x）_max=f（-$\frac{1}{a}$）=ln（-$\frac{1}{a}$）-1＞0，解得：a＞-$\frac{1}{e}$，
综上，a的范围是（-$\frac{1}{e}$，+∞），
故答案为：（-$\frac{1}{e}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．