Question

已知a=（sin2x，2cos²x-1），b=（sinθ，cosθ）（0＜θ＜π），函数f（x）=a•b的图象经过点（

π

6

，1）．
（Ⅰ）求θ及f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈[-

π

6

，

π

4

]时，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考点：三角函数的最值,平面向量数量积的运算,三角函数的周期性及其求法

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（Ⅰ）利用向量数量积的坐标运算易求f（x）=cos（2x-θ），从而可求f（x）的最小正周期；又y=f（x）的图象经过点（

π

6

，1），0＜θ＜π，可求得θ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=cos（2x-

π

3

），-

π

6

≤x≤

π

4

⇒-

2π

3

≤2x-

π

3

≤

π

6

，利用余弦函数的单调性可求得f（x）的最大值和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

a

•

b

=sin2xsinθ+cos2xcosθ=cos（2x-θ），
∴f（x）的最小正周期为T=π，
∵y=f（x）的图象经过点（

π

6

，1），
∴cos（

π

3

-θ）=1，
又0＜θ＜π，
∴θ=

π

3

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=cos（2x-

π

3

），
∵-

π

6

≤x≤

π

4

，
∴-

2π

3

≤2x-

π

3

≤

π

6

，
当2x-

π

3

=0，即x=

π

6

时，f（x）取得最大值1；
2x-

π

3

=-

2π

3

，即x=-

π

6

时，f（x）取得最小值-

1

2

．

点评：本题考查向量数量积的坐标运算，突出考查三角函数的周期性及其求法及余弦函数的单调性与最值，属于中档题．