Question

根据下列条件求实数m的取值范围：
（1）关于x的一元二次方程x²+2（m+3）x+2m+14=0有两个实根，且一个比4大，另一个比4小；
（2）关于x的一元二次方程7x²-（m+13）x+m+2=0有两个实数根x₁，x₂，且0＜x₁＜1＜x₂＜2．

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：函数的性质及应用

分析：（1）构造函数，利用方程的根一个比4大，另一个比4小，可得函数f（x）的图象与横轴有两个交点，一个在4的左边，另一个在4的右边，从而可得f（4）＜0，即可求出实数m的取值范围；
（2）构造函数，利用两个实数根x₁，x₂，且0＜x₁＜1＜x₂＜2，可得不等式组，解之，即可求实数m的取值范围．

解答： 解：（1）设f（x）=x²+2（m+3）x+2m+14．…（1分）
因为x²+2（m+3）+2m+14=0有两个实根，且一个比4大，另一个比4小，
所以函数f（x）的图象与横轴有两个交点，一个在4的左边，另一个在4的右边，
所以f（4）＜0，…（2分）
所以4²+8（m+3）x+2m+14＜0…（1分），
解得m＜-

27

5

．…（2分）
（2）设f（x）=7x²-（m+13）x+m+2．…（1分）
由题意得

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

，…（2分）
即

m+2＞0 -4＜0 -m+4＞0

．…（1分）
解得-2＜m＜4．…（2分）

点评：本题考查方程根的问题，考查函数与方程思想，正确构造函数，利用函数思想解题是关键．