题目内容
19．已知过双曲线Г：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点F2作圆x2+y2=a2的切线，交双曲线Г的左支交于点A，且AF1⊥AF2，则双曲线的渐近线方程是（ ）| A． | y=±2x | B． | y=±$\frac{1}{2}$x | C． | y=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$x | D． | y=±$\sqrt{5}$x |
分析 设切点为M，连接OM，运用切线的性质，以及中位线定理，可得AF1=2a，由双曲线的定义，可得AF2=2a+AF1=4a，再由勾股定理，可得c2=5a2，结合a，b，c的关系，可得b=2a，进而得到双曲线的渐近线方程．
解答 
解：设切点为M，连接OM，
可得OM⊥AF2，
AF1⊥AF2，可得AF1∥OM，
且OM=a，AF1=2a，
由双曲线的定义，可得AF2=2a+AF1=4a，
在直角三角形AF1F2中，
AF12+AF22=F1F22，
即为4a2+16a2=4c2，
即有c2=5a2，
由c2=a2+b2，可得b=2a，
可得双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
即为y=±2x．
故选：A．
点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是渐近线方程的求法，注意运用直线和圆相切的条件和中位线定理、勾股定理，考查运算能力，属于中档题．
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