题目内容
9．如图，四边形ABCD中，AB⊥CD，AD∥BC，AD=3，BC=2AB=2，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC．（Ⅰ）若BE=$\frac{1}{2}$，在折叠后的线段AD上是否存在一点P，且$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{PD}$，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由；
（Ⅱ）求三棱锥A-CDF的体积的最大值，并求此时二面角E-AC-F的余弦值．
分析 （Ⅰ）推导出FD⊥EF，FD⊥AF，以F为坐标原点，分别以FE，FD，FA所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段AD上存在点P（0，$\frac{3}{2}，\frac{1}{5}$），$\overrightarrow{AP}=\frac{3}{2}\overrightarrow{PD}$，使得CP∥平面ABEF．
（Ⅱ）设BE=x，则AF=x（0＜x≤2），FD=3-x，推导出当x=$\frac{3}{2}$时，VA-CDF有最大值，且最大值为$\frac{3}{8}$，求出此时平面AEC的一个法向量和平面ACF的一个法向量，利用向量法能求出二面角E-AC-F的余弦值．
解答 
解：（Ⅰ）∵平面ABEF⊥平面EFDC，平面ABEF∩平面EFDC=EF，
FD⊥EF，
∴FD⊥平面ABEF，又AF?平面ABEF，
∴FD⊥AF，
在折起过程中，AF⊥EF，同时FD∩EF=F，
∴AF⊥平面EFDC，
以F为坐标原点，分别以FE，FD，FA所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
当BE=$\frac{1}{2}$时，F（0，0，0），A（0，0，$\frac{1}{2}$），D（0，$\frac{5}{2}$，0），C（1，$\frac{3}{2}$，0），
平面ABEF的法向量$\overrightarrow{FD}$=（0，$\frac{5}{2}$，0），
∵$\overrightarrow{AP}$=$λ\overrightarrow{PD}$，∴$\overrightarrow{FP}$=$\frac{1}{1+λ}\overrightarrow{FA}$+$\frac{λ}{1+λ}\overrightarrow{FD}$=$\frac{1}{1+λ}（0，0，\frac{1}{2}）+\frac{λ}{1+λ}（0，\frac{5}{2}，0）$，
∴P（0，$\frac{5λ}{2+2λ}$，$\frac{1}{2+2λ}$），
∴$\overrightarrow{CP}$=（-1，$\frac{2λ-3}{2+2λ}$，$\frac{1}{2+2λ}$），
∵CP∥平面ABEF，∴$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{FD}$=$\frac{5（2λ-3）}{2（2+2λ）}$=0，
解得$λ=\frac{3}{2}$，
∴线段AD上点P（0，$\frac{3}{2}，\frac{1}{5}$），且$\overrightarrow{AP}=\frac{3}{2}\overrightarrow{PD}$，使得CP∥平面ABEF．
（Ⅱ）设BE=x，则AF=x（0＜x≤2），FD=3-x，
∴VA-CDF=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×x×（3-x）$=$\frac{1}{6}x（3-x）$=-$\frac{1}{6}$（x-$\frac{3}{2}$）2+$\frac{3}{8}$，
∴当x=$\frac{3}{2}$时，VA-CDF有最大值，且最大值为$\frac{3}{8}$，
∴A（0，0，$\frac{3}{2}$），C（1，$\frac{1}{2}$，0），D（0，$\frac{3}{2}$，0），E（1，0，0），
∴$\overrightarrow{AE}$=（1，0，-$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{AC}$=（1，$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{FA}$=（0，0，$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{FC}$=（1，$\frac{1}{2}$，0），
设平面AEC的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=2x+y-3z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=2x-3z=0}\end{array}\right.$，取x=3，得$\overrightarrow{m}$=（3，0，2），
设平面ACF的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FA}=\frac{3}{2}c=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FC}=a+\frac{1}{2}b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-2，0），
cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{13}×\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{65}}{65}$．
∴二面角E-AC-F的余弦值为$\frac{3\sqrt{65}}{65}$．
点评 本题考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
| A． | y=±2x | B． | y=±$\frac{1}{2}$x | C． | y=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$x | D． | y=±$\sqrt{5}$x |
| A． | （-∞，$\frac{1}{e}$） | B． | （0，$\frac{1}{e}$） | C． | （-∞，e） | D． | （e，+∞） |
如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AD，底面ABCD为正方形，E为DP的中点，AF⊥PC于F．| A． | （-2，2） | B． | （-∞，-2）∪（2，+∞） | C． | （2，+∞） | D． | （-∞，-2） |
如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，半圆O以BC为直径，平面ABCD垂直于半圆O所在的平面，P为半圆周上任意一点（与B、C不重合）．
如图，等边三角形PAB所在的平面与平行四边形ABCD所在的平面垂直，E是线段BC中点，∠ABC=60°，BC=2AB=2．| A． | [-1，5] | B． | [-2，4] | C． | [-1，1] | D． | [-5，1] |