Question

已知线段AB的端点B的坐标是（1，2），端点A在圆（x+1）²+y²=4上运动，点M是AB的中点．
（1）若点M的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
（2）设直线l：x+y+3=0，求曲线C上的点到直线l距离的最大值和最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设线段AB中点M（x，y），A（x₁，y₁），由题意知x=

x1+1

2

，y=

y1+2

2

，可得x₁=2x-1，y₁=2y-2，由点A在圆（x+1）²+y²=4上运动，能求出点M的轨迹方程．
（2）找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，由d+r与d-r求出最大值与最小值．

解答： 解：（1）设线段AB中点M（x，y），A（x₁，y₁），
由题意知：x=

x1+1

2

，y=

y1+2

2

，
∴x₁=2x-1，y₁=2y-2，
∵点A在圆（x+1）²+y²=4上运动，
∴（2x-1+1）²+（2y-2）²=4，
整理，得x²+（y-1）²=1，
∴点M的轨迹方程是：x²+（y-1）²=1，表示以（0，1）为圆心，1为半径的圆．
（2）解：由圆的标准方程x²+（y-1）²=1，
∴圆心（0，1），半径r=1，
∵圆心到直线x+y+3=0的距离d=

|0+1+3|

2

=2

2

，
∴圆上的点到直线的最大距离：2

2

+1，最小距离：2

2

-1．

点评：（1）本题考查线段的中点的轨迹方程的求法，考查代入法的运用，确定坐标之间的关系是关键．（2）考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，根据题意得出d+r为距离的最大值，d-r为距离的最小值是解本题的关键．