Question

3．设f（x）是定义在R上的增函数，且对任意x，都有f（-x）+f（x）=0恒成立，如果实数x，y满足不等式f（x²-6x）+f（y²-4y+12）≤0，那么$\frac{y-2}{x}$的最大值是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $2\sqrt{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{4}$

Answer 1

分析 由条件利用函数的奇偶性、单调性可得 （x-3）²+（y-2）²≤1，表示以（3，2）为圆心、半径等于1的圆及其内部区域．而 $\frac{y-2}{x}$的表示圆内的点（x，y）与点（0，2）连线的斜率，求出该圆的切线斜率，可得结论．

解答 解：∵对任意x，都有f（-x）+f（x）=0恒成立，即f（-x）=-f（x）恒成立，故函数f（x）为奇函数．
根据f（x）是定义在R上的增函数，f（x²-6x）+f（y²-4y+12）≤0，
可得 f（x²-6x）≤-f（y²-4y+12）=f（-y²+4y-12），即 x²-6x≤-y²+4y-12，
即x²-6x+y²-4y+12≤0，即 （x-3）²+（y-2）²≤1，表示以（3，2）为圆心、半径等于1的圆及其内部区域．
而 $\frac{y-2}{x}$的表示圆内的点（x，y）与点（0，2）连线的斜率，
设过点（0，2）的圆的切线的斜率为k，则切线方程为y-2=k（x-0），即kx-y+2=0，
根据圆心（3，2）到切线的距离等于半径，可得$\frac{|3k-2+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，求得k=±$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
可得$\frac{y-2}{x}$的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
故选：D．

点评 本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，直线的斜率公式，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题．