Question

8．已知向量$\overrightarrow a$=（$\sqrt{3}$sinx，cosx），$\overrightarrow b$=（cosx，-cosx），f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$，
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若x∈（$\frac{7π}{12}，\frac{5π}{6}$），$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=$-\frac{5}{4}$，求cos2x的值．

Answer 1

分析 （1）进行数量积的坐标运算，并化简即可得出$f（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$，从而得出f（x）的最小正周期，而通过解$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z即可得出f（x）的单调递增区间；
（2）根据条件即可求得$sin（2x-\frac{π}{6}）=-\frac{3}{4}$，而根据x的范围可求得$2x-\frac{π}{6}$的范围，进而求出$cos（2x-\frac{π}{6}）$的值，从而由$cos2x=cos[（2x-\frac{π}{6}）+\frac{π}{6}]$即可求出cos2x的值．

解答 解：（1）$f（x）=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$
=$\sqrt{3}sinxcosx-co{s}^{2}x$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1+cos2x}{2}$
=$sin（2x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$；
∴f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}=π$；
解$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z）得，$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}$，k∈Z；
∴f（x）的单调递增区间为$[kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}]，k∈Z$；
（2）∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=sin（2x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}=-\frac{5}{4}$；
∴$sin（2x-\frac{π}{6}）=-\frac{3}{4}$；
∵$x∈（\frac{7π}{12}，\frac{5π}{6}）$；
∴$2x-\frac{π}{6}∈（π，\frac{7π}{6}）$；
∴$cos（2x-\frac{π}{6}）=-\frac{\sqrt{7}}{4}$；
∴$cos2x=cos[（2x-\frac{π}{6}）+\frac{π}{6}]$
=$cos（2x-\frac{π}{6}）cos\frac{π}{6}-sin（2x-\frac{π}{6}）sin\frac{π}{6}$
=$-\frac{\sqrt{7}}{4}×\frac{\sqrt{3}}{2}-（-\frac{3}{4}）×\frac{1}{2}$
=$\frac{3-\sqrt{21}}{8}$．

点评 考查数量积的坐标运算，二倍角的正余弦公式，两角和差的正余弦公式，三角函数最小正周期的计算公式，熟悉正弦函数的图象及单调区间，不等式的性质．