题目内容
12．已知函数f（x）=x+$\frac{m}{x}$，且函数y=f（x）的图象经过点（1，2）．（1）求m的值；
（2）判断函数的奇偶性并加以证明；
（3）证明：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．
分析 （1）由函数f（x）图象过点（1，2），代入解析式求出m的值；
（2）利用奇偶性的定义判断f（x）为定义域上的奇函数；
（3）利用单调性的定义可证明f（x）在（1，+∞）上为增函数．
解答 解：（1）由函数f（x）=x+$\frac{m}{x}$的图象过点（1，2），
得2=1+$\frac{m}{1}$，
解得m=1；…（3分）
（2）由（1）知，f（x）=x+$\frac{1}{x}$，
定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）具有对称性，
且f（-x）=-x+$\frac{1}{-x}$=-（x+$\frac{1}{x}$）=-f（x），
所以f（x）为奇函数；…（3分）
（3）证明：设1＜x1＜x2，则
f（x1）-f（x2）=$（{x_1}+\frac{1}{x_1}）-（{x_2}+\frac{1}{x_2}）$=$\frac{{（{x_1}-{x_2}）（{x_1}x{\;}_2-1）}}{{{x_1}{x_2}}}$，
∵x1-x2＜0，x1x2-1＞0，x1x2＞0，
∴f（x1）＜f（x2），
∴函数y=f（x）在（1，+∞）上为增函数…（4分）
点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性的定义与应用问题，是基础题目．
练习册系列答案
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3．设f（x）是定义在R上的增函数，且对任意x，都有f（-x）+f（x）=0恒成立，如果实数x，y满足不等式f（x2-6x）+f（y2-4y+12）≤0，那么$\frac{y-2}{x}$的最大值是（ ）
| A． | 1 | B． | 2 | C． | $2\sqrt{2}$ | D． | $\frac{{\sqrt{2}}}{4}$ |
17．已知函数f（x）=log2（x2-2x-3），则使f（x）为减函数的区间是（ ）
| A． | （3，6） | B． | （-1，0） | C． | （1，2） | D． | （-3，-1） |
4．“方程$\frac{x^2}{2-n}$+$\frac{y^2}{n+1}$=1表示焦点在x轴的椭圆”是“-1＜n＜2”的（ ）
| A． | 充分不必要条件 | B． | 必要不充分条件 | ||
| C． | 充要条件 | D． | 既不充分也不必要条件 |