Question

14．已知圆C：（x-1）²+y²=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．
（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；
（2）当弦AB最短时，写出直线l的方程；
（3）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．

Answer 1

分析 （1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l的方程；
（2）当弦AB被点P平分时，弦AB最短，求出直线的斜率，即可写出直线l的方程；
（3）当直线l的倾斜角为45°时，求出直线的斜率，然后求出直线的方程，利用点到直线的距离，半径，半弦长的关系求弦AB的长．

解答 解：（1）已知圆C：（x-1）²+y²=9的圆心为C（1，0），
因为直线l过点P，C，所以直线l的斜率为2，所以直线l的方程为y=2（x-1），即2x-y-2=0．
（2）当弦AB被点P平分时，弦AB最短，此时l⊥PC，直线l的方程为y-2=-$\frac{1}{2}$（x-2），即x+2y-6=0．
（3）当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l的方程为y-2=x-2，即x-y=0．
圆心到直线l的距离为$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，圆的半径为3，弦AB的长为：2$\sqrt{9-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{34}$．

点评 本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，计算直线的斜率，点到直线的距离；直线与圆的特殊位置关系的应用是本题的关键．