Question

已知函数f（x）=ax²+x+a在区间[1，3]上的图象总在x轴的上方，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：函数f（x）=ax²+x+a在区间[1，3]上的图象总在x轴的上方，则ax²+x+a＞0在1≤x≤3时恒成立，也即a（x²+1）＞-x在1≤x≤3时恒成立，
故a＞-

x

x2+1

在1≤x≤3时恒成立，
令f（x）=-

x

x2+1

，只要a＞f_最大值（x）即可；用导数求f（x）的最大值．

解答： 解：函数f（x）=ax²+x+a在区间[1，3]上的图象总在x轴的上方，则ax²+x+a＞0在1≤x≤3时恒成立，也即a（x²+1）＞-x在1≤x≤3时恒成立，
∴a＞-

x

x2+1

在1≤x≤3时恒成立，
令f（x）=-

x

x2+1

，只要a＞f_最大值（x）即可．
∵x≥1＞0，f′（x）=-

(x2+1)-x•2x

(x2+1)2

=-

1-x2

(x2+1)2

=

(x+1)(x-1)

(x2+1)2

＞0，
∴f（x）在[1，3]上递增，∴f_最大值（x）=f（3）=-

3

32+1

=-

3

10

，
∴a＞-

3

10

，
∴a的范围为(-

3

10

，+∞)

点评：本题主要考查函数最值的求法，恒成立的问题通常转化为求函数的最值处理．