Question

已知函数f（x）=x²-2ax+1，且函数f（x）在（-∞，-1]上是单调递减函数，在[1，+∞）上是单调递增函数．
（1）求实数a的取值集合A；
（2）设函数g（x）=-x²-x+

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，若对任意a∈A及t∈[-1，1]都有不等式m²+2tm+1≥g（a）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数的单调性可知二次函数的对称轴，结合二次函数的对称性建立等量关系，解之即可．
（2）由（1）求得-1≤a≤1，于是可求得g（a）∈[-

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，1]，不等式m²+tm+1≥g（a）可化为对任意x∈A及t∈[-1，1]恒成立?m²+tm+1≥1对任意t∈[-1，1]恒成立，从而可求得m的取值范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=x²-2ax+1的图象是开口朝上，且以直线x=a为对称轴的抛物线，
若函数f（x）在（-∞，-1]上是单调递减函数，在[1，+∞）上是单调递增函数，
则a∈[-1，1}，
即A=[-1，1]，
（2）∵g（a）=-a²-a+

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=-（a+

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）²+1，
∴当a∈A=[-1，1]时，g（a）∈[-

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，1]，
若对任意a∈A及t∈[-1，1]都有不等式m²+2tm+1≥g（a）成立，
即m²+2tm+1≥1对任意t∈[-1，1]成立，
令h（t）=m²+2tm，则

h(-1)≥0 h(1)≥0

，
即

m2-2m≥0 m2+2m≥0

，
解得：m≤-2，或m≥2

点评：本题考查利用导数研究函数单调性的性质，考查函数恒成立问题，考查综合法与分析法的应用，（2）中求得g（a）∈[-

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，1]是关键，也是难点．属于难题．