Question

如图，半径为1的圆O，∠AOB=∠BOC=∠COA=

2π

3

，点A₀，B₀，C₀分别是半径OA、OB、CO上的动点，且OA₀=OB₀=OC₀，分别过A₀，B₀，C₀作半径OA、OB、CO的垂线，交圆O与A₁，A₂，B₁，B₂，C₁，C₂，过A₂，B₁分别作OA、OB的平行线A₂M和B₁M交于点M，过B₂，C₁分别作OB、OC的平行线B₂N和C₁N交于点N，过C₂，A₁分别作OC、OA的平行线C₂P和A₁P交于点P，由A₁A₂MB₁B₂NC₁C₂P围成图所示的平面区域（阴影部分），记它的面积为y，设∠A₂OA=θ，用y=f（θ）表示y关于θ的函数．
（1）设θ∈（0，

π

3

]，求y=f（θ）的解析式；
（2）在（1）的条件下，求y=f（θ）的最大值，并求出当函数取最大值是时tan2θ的值．

Answer 1

考点：在实际问题中建立三角函数模型

专题：综合题,三角函数的求值

分析：（1）由题意，y=6SOA0A2M，四边形OA₀A₂M为直角梯形，即可求y=f（θ）的解析式；
（2）f（θ）=

39

2

sin（2θ+φ）-

3

2

（tanφ=

1

2 3

），即可求出y=f（θ）的最大值，同时可得当函数取最大值是时tan2θ的值．

解答： 解：（1）由题意，y=6SOA0A2M，
A₀A₂=OA₂sinθ=sinθ，OA₀=cosθ，
由图可知，四边形OA₀A₂M为直角梯形，
∴6SOA0A2M=

1

2

（MA₂+OA₀）•A₀A₂
由图知，M，N，P对称，∴∠MOP=120°，
∴∠MOH=60°，
∴在Rt△OMH中，OH=

MH

3

=

sinθ

3

，
∴SOA0A2M=

1

2

[（cosθ-

sinθ

3

）+cosθ]sinθ=

1

2

sin2θ-

sin2θ

2 3

，
∴y=3sin2θ+

3

2

cos2θ-

3

2

（θ∈（0，

π

3

]），
（2）f（θ）=

39

2

sin（2θ+φ）-

3

2

（tanφ=

1

2 3

）
∵θ∈（0，

π

3

]，tanφ=

1

2 3

＜

1

3

，
∴φ∈（0，

π

6

）
∴2θ+φ=

π

2

时，y=f（θ）的最大值为

39 - 3

2

，
此时2θ=

π

2

-φ，tan2θ=tan（

π

2

-φ）=

1

tanθ

=2

3

．

点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查是三角函数知识的运用，正确确定函数解析式是关键．