Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短半轴长为1，点M（2，t）（t＞0）是右准线x=

a2

c

上的动点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设F为椭圆的右焦点，过F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求ON的长．
（Ⅲ）求以OM为直径且被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已和条件推导出b=1，

a2

c

=2，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F（1，0），依题意FN⊥OM，MN⊥ON，设N（x₀，y₀），由FN⊥OM，得2x₀+ty₀=2，由MN⊥ON，x02+y02=2x0+ty0=2，由此能求出|ON|．
（Ⅲ）以OM为直径的圆的圆心为（1，

t

2

），半径为r=

1+ t2 4

，由已知条件推导出

t2

4

+1=

4(t+1)2

25

+1，由此能求出圆的方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短半轴长为1，
∴b=1，
∵点M（2，t）（t＞0）是右准线x=

a2

c

上的动点，
∴

a2

c

=2，
∴

b2+c2

c

=

1+c2

c

=2，解得c=1，a²=2，
∴椭圆方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F（1，0），
依题意FN⊥OM，MN⊥ON，
设N（x₀，y₀），则

FN

=(x0-1，y0)，

OM

=(2，t)，

MN

=(x0-2，y0-t)，

ON

=(x0，y0)，
则

FN

=(x0-1，y0)，

OM

=(2，t)，

MN

=(x0-2，y0-t)，

ON

=(x0，y0)，
由FN⊥OM，得2（x₀-1）+ty₀=0，
∴2x₀+ty₀=2，
由MN⊥ON，得x₀（x₀-2）+y₀（y₀-t）=0，
∴x02+y02=2x0+ty0=2，
∴|ON|=

x02+y02

=

2

．
（Ⅲ）以OM为直径的圆的圆心为（1，

t

2

），半径为r=

1+ t2 4

，
圆心（1，

t

2

）到直线3x-4y-5=0的距离为d=

|2t+2|

5

，
又圆被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2，
∴r²=d²+1，∴

t2

4

+1=

4(t+1)2

25

+1，解得t=4，
∴圆的方程为（x-1）²+（y-2）²=5．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查线段长的求法，考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．