Question

6．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{5}|x-3|，（x≠3）}\\{3，（x=3）}\end{array}\right.$，若函数F（x）=f²（x）+bf（x）+c有五个不同的零点x₁，x₂，…，x₅，则f（x₁+x₂+…+x₅）=log₅12．

Answer 1

分析 由函数的解析式可得，函数f（x）的图象关于直线x=3对称，再由题意可得，五个不等实根x₁，x₂，…，x₅，有一个是3，其余4个关于直线x=3对称，故有x₁+x₂+…+x₅=15，再根据 f（x₁+x₂+…+x₅）=f（15），运算求得结果．

解答 解：∵已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{5}|x-3|，（x≠3）}\\{3，（x=3）}\end{array}\right.$，故有f（3）=3．
根据当x＞3时，f（x）=log₅（x-3），当x＜3时，f（x）=log₅（3-x），
画出函数图象，如图所示，可得函数f（x）的图象关于直线x=3对称．
再根据关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有五个不等实根x₁，x₂，…，x₅，
f（x）=3时，方程f（x）=3有3个根，当f（x）=t，（t≠3）时，方程有2个不同的根，
∵关于x的方程f²（x）+bf（x）-3=0有五个不等实根x₁，x₂，…，x₅，有一个是3，其余4个关于直线x=3对称
∴x₁+x₂+…+x₅ =15，
∴f（x₁+x₂+…+x₅）=f（15）=log₅12
故答案为  log₅12．

点评 本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，关键是根据函数的图象关于x=3对称，得出5个根也关于直线x=3对称，从而求得x₁+x₂+…+x₅ ，属于中档题．