题目内容
11．
如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为6，∠C1BC的正切值为$\frac{1}{3}$，当AB+AD+AA1的值最小时，长方体ABCD-A1B1C1D1外接球的表面积（ ）| A． | 10π | B． | 12π | C． | 14π | D． | 16π |
分析 先根据条件求出长方体的三条棱长，再求出长方体ABCD-A1B1C1D1外接球的直径，即可得出结论．
解答 解：由题意设AA1=x，AD=y，则AB=3x，
∵长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为6，
∴xy•3x=6，
∴y=$\frac{2}{{x}^{2}}$，
∴AB+AD+AA1=4x+$\frac{2}{{x}^{2}}$≥3$\root{3}{2x•2x•\frac{2}{{x}^{2}}}$=6，
当且仅当2x=$\frac{2}{{x}^{2}}$，即x=1时，取得最小值，
∴长方体ABCD-A1B1C1D1外接球的直径为$\sqrt{1+4+9}$=$\sqrt{14}$，
∴长方体ABCD-A1B1C1D1外接球的表面积=14π，
故选C．
点评 本题考查长方体ABCD-A1B1C1D1外接球的表面积，考查体积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．
练习册系列答案
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| A． | 若a+b≠1，则a2+b2＜$\frac{1}{2}$ | B． | 若a+b=1，则a2+b2＜$\frac{1}{2}$ | ||
| C． | 若a2+b2＜$\frac{1}{2}$，则a+b≠1 | D． | 若a2+b2≥$\frac{1}{2}$，则a+b=1 |
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