Question

3．已知函数f（x）=ax³-3x²+1，a∈R．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若方程f（x）=-3x²-3x+2恰有一个实数根，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值即可；
（2）问题转化为方程$\frac{1}{x^3}-\frac{3}{x^2}=a$恰有一个实数根，令$\frac{1}{x}=t（{t∈R，\;t≠0}）$，则t³-3t²=a，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=x³-3x²+1，∴f'（x）=3x²-6x=3x（x-2）…（1分）
令f'（x）=0，解得x=0或x=2，f'（x），f（x）的变化情况如下表：…（4分）

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	1	↘	-3	↗

∴f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（2，+∞），单调递减区间为（0，2）…5分
当x=0时，极大值为1，当x=2时，极小值为-3   …（6分）
（2）方程f（x）=-3x²-3x+2即方程ax³=-3x+1，∵x=0显然不是方程的根，
∴ax³=-3x+1恰有一个实数根，即方程$\frac{1}{x^3}-\frac{3}{x^2}=a$恰有一个实数根 …（8分）
令$\frac{1}{x}=t（{t∈R，\;t≠0}）$，则t³-3t²=a，令g（t）=t³-3t²（t≠0）
由（1）可知，函数g（t）的单调递增区间为（-∞，0），（2，+∞），单调递减区间为（0，2）…（10分）
∵方程t³-3t²=a恰有一个实数根，考虑到t≠0，∴a≥g（0）=0或a＜g（2）=-4
即所求a的取值范围是a≥0或a＜-4…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及换元思想，是一道中档题．