题目内容

已知数列{an}，{bn}满足an=（
1
2
） bn
（1）若数列{bn}是等差数列，求证{an}是等比数列；
（2）若数列{an}的前n项和为Sn=1-（
1
2
）n
①设对于任意的正整数n，恒有
1
an
＞λ（1+
1
2b1-1
）（1+
1
2b2-1
）（1+
1
2b3-1
）…（1+
1
2bn-1
）成立，试求实数λ的取值范围．
②若数列{cn}满足cn=
2
bn+1，问数列{cn}中是否存在不同的三项成等比数列？如果存在，请求出这三项；如果不存在，请说明理由．
考点：等差数列与等比数列的综合
专题：综合题,等差数列与等比数列
分析：（1）数列{bn}是等差数列，设公差为d，则bn+1-bn=d对n∈N*恒成立，结合an=(
1
2
)bn，即可证明{an}是等比数列；
（2）①先确定数列{an}的通项公式是an=(
1
2
)n，可得bn=n，不等式
1
an
＞λ(1+
1
2b1-1
)(1+
1
2b2-1
)(1+
1
2b3-1
)…(1+
1
2bn-1
)，分离参数，利用求最值的方法，即可求实数λ的取值范围；②利用反证法可以得出结论．
解答： （1）证明：数列{bn}是等差数列，设公差为d，则bn+1-bn=d对n∈N*恒成立，
由于an=(
1
2
)bn
所以
an+1
an
=(
1
2
)bn+1-bn=(
1
2
)d是定值，
从而数列{an}是等比数列．  …（3分）
（2）①解：当n=1时，a1=
1
2
，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(
1
2
)n，n=1也适合此式，即数列{an}的通项公式是an=(
1
2
)n．         …（5分）
所以，bn=n…（6分）
不等式
1
an
＞λ(1+
1
2b1-1
)(1+
1
2b2-1
)(1+
1
2b3-1
)…(1+
1
2bn-1
)
可化为λ＜2n×
1×3×5×…×(2n-1)
2×4×6×…×2n
…（8分）
令f(n)=2n×
1×3×5×…×(2n-1)
2×4×6×…×2n
（n∈N*），则λ＜f（n）min…（9分）
又
f(n+1)
f(n)
=…=2×
2n+1
2n+2
=
2n+1
n+1
＞1恒成立，
所以，f（n）单调增                  …（10分）
所以，f（n）min=f（1）=1，
所以，所求实数λ的取值范围为λ＜1…（11分）
②cn=
2
n+1
假设存在不同的三项cm，cn，ct成等比数列，
由于{cn}是单调增数列，不妨设m＜n＜t，则cn2=cmct，…（12分）
∴(
2
n+1)2=(
2
m+1)(
2
t+1)
化简得
2
(m+t-2n)=2n2-2mt，…（13分）
由于
2
是无理数，m+t-2n，2n2-2mt均为整数，
因此
m+t-2n=0
2n2-2mt=0
…（14分）
消去n，得m2-2mt+t2=0，即（m-t）2=0
所以，m=t，与m＜n＜t矛盾                     …（15分）
故不存在不同的三项成等比数列，…（16分）
点评：本题解决等差数列与等比数列的综合，考查数列的通项，考查恒成立问题，利用函数的最值是解题的关键．
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x
+
y
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2
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2
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2
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2
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2
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2
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，
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），求f（2θ+
π
12
）．

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