Question

6．设两个非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$不共线．
（1）如$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{BC}$=-3（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），$\overrightarrow{CD}$=-2$\overrightarrow{a}$-13$\overrightarrow{b}$，求证：A，B，D三点共线．
（2）试确定k的值，使k$\overrightarrow{a}$+12$\overrightarrow{b}$和3$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$共线．

Answer 1

分析 （1）容易得出$\overrightarrow{BD}=-5\overrightarrow{AB}$，从而$\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{AB}$共线，进而得出A，B，D三点共线；
（2）由$k\overrightarrow{a}+12\overrightarrow{b}$和$3\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$共线即可得到：$k\overrightarrow{a}+12\overrightarrow{b}=λ（3\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}）$，从而可得到关于k，λ的方程组，解出k即可．

解答 解：（1）$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$=$-3（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）-2\overrightarrow{a}-13\overrightarrow{b}=-5\overrightarrow{a}-10\overrightarrow{b}$=$-5\overrightarrow{AB}$；
又AB，BD有公共点B；
∴A，B，D三点共线；
（2）∵$k\overrightarrow{a}+12\overrightarrow{b}$和$3\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$共线；
∴存在实数λ，使得$k\overrightarrow{a}+12\overrightarrow{b}=λ（3\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}）$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=3λ}\\{12=kλ}\end{array}\right.$；
解得k=±6．

点评 考查向量加法的几何意义，向量的数乘运算，平面向量及共线向量基本定理．