Question

17．近期中央电视台播出的《中国诗词大会》火遍全国．某选拔赛后，随机抽取100名选手的成绩，按成绩由低到高依次分为第1，2，3，4，5组，制成频率分布直方图如图所示：
（Ⅰ）在第3、4、5组中用分层抽样抽取5名选手，求第3、4、5组每组各抽取多少名选手；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，在5名选手中随机抽取2名选手，求第4组至少有一名选手被抽取的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先求出第3，4，5组的频数，然后根据分层抽样中抽取的比例相等求出三组所抽取的人数；
（Ⅱ）利用列举法列出在5名选手中随机抽取2名选手的所有方法种数，查出第4组至少有一名选手被抽取的种数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解．

解答 解：（Ⅰ）由频率分布直方图易知第3组的频率为0.04×（175-170）=0.2，从而第3组的频数为100×0.2=20，
同理可得第4、5组的频数分别为20、10，所以第3、4、5组共有50名选手．
利用分层抽样在50名选手中抽取5名选手，每组抽取的人数分别为：
第3组：$\frac{20}{50}$×5=2人，第4组：$\frac{20}{50}$×5=2人，第5组：$\frac{10}{50}$×5=1人，
所以第3、4、5组分别抽取2人、2人、1人．
（Ⅱ）设第3组的2位选手为A，B，第4组的2位选手为C，D，第5组的1位选手为E，则从这五位选手中抽取两位选手有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10种．
其中第4组的2位选手C，D中至少有一位选手入选的有：AC，BC，AD，BD，CD，CE，DE共有7种，
所以第4组至少有一名选手的概率为$\frac{7}{10}$

点评 本题考查了频率分布直方图，考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键是正确列出在5名学生中随机抽取2名学生的所有情况，属中档题．