Question

16．在△ABC中，a，b，c分别为A、B、C的对边，且满足2（a²-b²）=2accosB+bc
（1）求A
（2）D为边BC上一点，CD=3BD，∠DAC=90°，求tanB．

Answer 1

分析 （1）将2（a²-b²）=2accosB+bc化解结合余弦定理可得答案．
（2）因为∠DAC=$\frac{π}{2}$，所以AD=CD•sinC，∠DAB=$\frac{π}{6}$．利用正弦定理即可求解．

解答 解：（1）由题意2accosB=a²+c²-b²，
∴2（a²-b²）=a²+c²-b²+bc．
整理得a²=b²+c²+bc，
由余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA
可得：bc=-2bccosA
∴cosA=-$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π
∴A=$\frac{2π}{3}$．
（Ⅱ）∵∠DAC=$\frac{π}{2}$，
∴AD=CD•sinC，∠DAB=$\frac{π}{6}$．
在△ABD中，有$\frac{AD}{sinB}=\frac{BD}{sin∠DAB}$，
又∵CD=3BD，
∴3sinC=2sinB，
由C=$\frac{π}{3}$-B，得$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$cosB-$\frac{3}{2}$sinB=2sinB，
整理得：tanB=$\frac{{3\sqrt{3}}}{7}$．

点评 本题考查了正弦、余弦定理的灵活运用和计算能力．属于中档题．