Question

15．设铁路AB长为100，BC⊥AB，且BC=30，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．
（1）将总运费y表示为x的函数；
（2）如何选点M才使总运费最小．

Answer 1

分析 （1）由题意，AB=100，BC⊥AB，BC=30，BM=x，则AM=100-x．MC=$\sqrt{M{B}^{2}+B{C}^{2}}$，可得总运费y表示为x的函数；
（2）根据（1）中的关系式，利用导函数单调性，可得最值．

解答 解：（1）由题意，AB=100，BC⊥AB，BC=30，BM=x，则AM=100-x．MC=$\sqrt{M{B}^{2}+B{C}^{2}}$，
∴总运费y=2×（100-x）+4×MC=200-2x+4$\sqrt{{x}^{2}+900}$，（100＞x＞0）．
（2）由（1）可得y=200-2x+4$\sqrt{{x}^{2}+900}$，（100＞x＞0）．
则y′=-2+4×$\frac{1}{2}$×$2x×\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+900}}$
令y′=0．
可得：2$\sqrt{{x}^{2}+900}$=4x，
解得：x=10$\sqrt{3}$．
当$0＜x＜10\sqrt{3}$时，y′＜0，则y在当$0＜x＜10\sqrt{3}$单调递减．
当$10\sqrt{3}＜x＜100$时，y′＞0，则y在$10\sqrt{3}＜x＜100$单调递增．
∴当x=10$\sqrt{3}$时，y取得最大值为200+60$\sqrt{3}$．
∴选点M距离B点$10\sqrt{3}$时才使总运费最小．

点评 本题考查函数解析式的求法和最值的计算，利用了导函数的性质的运用．属于中档题．