Question

7．若方程2sin²x+sinx-m-2=0在[0，2π）上有且只有两解，则实数m的取值范围是（-1，1）∪{-$\frac{17}{8}$}．

Answer 1

分析 由题意可得函数y=2sin²x+sinx的图象和直线y=m+2在[0，2π）上有且只有两个交点，即函数y=2t²+t的图象和直线直线y=m+2在（-1，1）上有且只有一个交点，数形结合求得m的范围．

解答 解：由于方程2sin²x+sinx-m-2=0在[0，2π）上有且只有两解，
故函数y=2sin²x+sinx的图象和直线y=m+2在[0，2π）上有且只有两个交点．
由于sinx在（-1，1）上任意取一个值，在[0，2π）上都有2个x值和它对应，
故令t=sinx∈[-1，1]，则函数y=2t²+t的图象和直线直线y=m+2在（-1，1）上有且只有一个交点，
如图所示：∵当t=-$\frac{1}{4}$时，y=-$\frac{1}{8}$，
故 1＜m+2＜3或m+2=-$\frac{1}{8}$，求得-1＜m＜1或m=-$\frac{17}{8}$，
故答案为：（-1，1）∪{-$\frac{17}{8}$}．

点评 本题主要考查正弦函数的值域，二次函数的性质，方程根的存在性以及个数判断，属于中档题．